所以草的存量随牛吃的天数不断地变化,这是因

日期:2019-12-26编辑作者:公务员

  牛吃草又称为消长问题或牛顿牧场,是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变,不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同,求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于吃的天数不同,草又是天天在生长的,所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。

  公务员考试的数量关系中,经常会遇到牛吃草这一题型。随着公考难度的增加,牛吃草问题也在不断地突破传统,衍生出新的题型。但是无论题型如何演变,基本的公式和原理是不变的。在此,通过对牛吃草题型的剖析,希望考生朋友看到公考趋势的变化,学会用典型公式,举一反三,从而从容应对一些创新的题型。

随着公务员[微博]考试逐渐趋于成熟和考试难度的不断加大,考试越来越注重考查考生对于各类知识点的理解和内化,对于行测考试中的数学运算部分尤为如此。中公教育[微博]专家认为,仅仅靠简单的复习和技巧的提升已经难以能够拿到比较高的分数,需要考生对各个题型和知识点不断学习巩固内化提升。

  很多人觉得牛吃草问题很费解,一边吃草还一边长。但其实只要记住牛吃草问题的公式就能解出了。我们先来看看公式

  牛吃草问题又称牛顿问题,其核心公式为:

今天小编重点给大家介绍的是公务员考试中一种大家比较熟悉却又理解不够深入的一种题型——牛顿问题,又称牛吃草问题,看到牛吃草问题,认真准备过公务员考试或参加过小学奥数比赛的同学可能会很容易想到单个草场牛吃草问题的标准模型的基本公式(N-x).t=M=x.T在这个模型中有两个前提假设,假设每头牛每天吃的草量为1份,假设草的生长速度为每天x份),在这个式子中N表示牛的头数,x表示草生长的速度,t表示吃尽所需要的时间,M表示原有草量,T表示在没有牛吃草的情况下草长到M的量所需要的时间。利用这个模型去解决标准的牛吃草问题,一般是题干中已知N、x、t、M四个量中的三个求另外一个量或求T,直接套用模型公式就能很容易的得到答案。比如说

  草地原有草量=(牛数-每天长草量)´天数

  原草量=(牛头数×每头牛吃的速度-草长速度)×时间

有一块牧场,可供10头牛吃20天,15头牛吃10天,则它可供多少头牛吃4天?( )

  y=(N-X)x  T

  一、传统牛吃草问题

A 20 B 25 C 30 D 35

  有人觉得括号里的牛数-每天长草量很奇怪,这是因为一个牛吃草问题是假设一头牛一天吃一个单位的草量。所以严格的说公式应该为y=(N·1-X)x  T。但因为乘以1不影响计算,所以解题时一般省掉。

新濠7158官网,  传统的牛吃草问题,会给出如下典型的条件:假设草的生长速度固定不变,不同头数的牛吃光同一片草地所需要的天数各不相同,求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于牛吃的天数不同,草又是天天在生长,所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。

这个题目属于典型单个草场的标准牛吃草问题,直接套用公式即可,(10-x)*20=(15-x)*10=(y-x)*4可以解得y=30,答案就选C

  【例1】

  例:牧场上长满了牧草,牧草每天都在匀速生长,这片牧草可供10头牛吃20天,可供15头牛吃10天。那么,供25头牛可以吃多少天?(  )

一个水库在年降水量不变的情况下,能够维持全市12万人20年的用水量。在该市新迁入3万人之后,该水库只够维持15年的用水量,市政府号召节约用水,希望能将水库的使用寿命提高到30年。那么,该市市民平均需要节约多少比例的水才能实现政府制定的目标?( )(国家2009—119)

  一片牧场,假设每天的长草量相同。9头牛吃3天,5头牛吃6天,多少头牛2天吃完?(    )

  A. 4         B. 5                C. 6                D. 7

所以草的存量随牛吃的天数不断地变化,这是因为一个牛吃草问题是假设一头牛一天吃一个单位的草量。A.2/5 B.2/7 C.1/3 D.1/4

  A.12           B.13           C.14            D.15

  答案及解析:本题选B。解析如下:本题是典型的传统牛吃草问题,假设原草量为M,每头牛吃的速度为1,草长速度为V,时间为t,借助核心公式可列如下方程组:

这道题也属于标准的牛吃草问题,直接套用公式可得(12-x)*20=(15-x)*15=(15y-x)*30解得y=2/5,答案就选A。

  解析:题目给了2个条件,将两个条件分别代入公式中,得到两个方程:y=(9-X)x  3;y=(5-X)x  6。两个未知数两个方程可以解得x=1,y=24。将题目的问题再列个方程y=(N-X)x  2,将x=1,y=24带入其中可以解得N=13。选B

  M=(10×1-v)×20;(1)

这类是属于标准的单个草场的牛吃草问题,已经是公务员考试中比较常见的题目了。但是,随着考试难度的加大和体现公务员考试是选拔性考试,多个草场不同面积的牛吃草问题考试逐渐出现,也将成为数学运算部分考察思维能力的一大亮点。与单个草场的牛吃草问题相比,多个草场的牛吃草问题中每个草场因为面积的不同而导致草场的生长速度不同,同时,在这类题目中给出了草场的面积,还涉及到单位的统一问题,这也是很多考生在学习多个草场的牛吃草问题时只知道做题方法却无法正确把握和认识的重要原因。在这儿通过题目给大家重点讲解如何利用牛吃草问题的标准模型来求解多个草场的牛吃草问题。如

  【例2】

  M=(15×1-v)×10;(2)

如果20头牛吃30公亩牧场的草,15天后可以吃尽,15头牛吃25公亩牧场的草,30天可以吃尽,那么要在12天内吃尽50公亩牧场的草,需要多少头牛?( )

  有一块草地,每天草生长的速度相同。现在这片牧草可供16头牛吃20天,或者供80只羊吃12天。如果一头牛一天的吃草量相当于4只羊一天的吃草量,那么这片草地可供10头牛和60只羊一起吃多少天?(    )

  M=(25×1-v)× t;(3)

A.35 B.40 C.45 D.50

  A.6           B.8         C.12        D.15

  方程(1)(2)联立,解得:M=100,v=5,代入(3)得到t=5。即供25头牛吃5天。

在这个题目中草地的面积不在相同,也就意味着要和标准的牛吃草问题要区分开来,由于草地面积的不同,这时30公亩的草、25公亩和50公亩的草的生长速度是不相同的,如果直接按照原有的标准公式去解决这类问题得到的答案自然就是错误的,那么如何去解决这类问题呐?在这儿我们就可以很好的去利用综合化归思想,把未知的题目转化为已知的题目进行求解。在这儿我们就要把多个草场的牛吃草问题转化为相同面积单个草场的牛吃草问题,在这给大家介绍两种常用的方法,一种是最核心最易于理解的方程法、另外一种是在方程思想的基础上演变来的最小公倍数法。

  解析:虽然题目涉及到了牛和羊,但是给出了1头牛相当于4只羊的换算关系,因此可以将羊换算为牛。即16头牛可以吃20天,20头牛可以吃12天。题目问25头牛可以吃多少天。将两个条件分别带入公式y=(N-X)x  T,可以得到两个方程:y=(16-X)x  20,y=(20-X)x  12,两个未知数两个方程可以解得x=10,y=120。将题目的问题根据公式列方程得到:y=(25-X)x  T。将x=10,y=120带入解得T=8。选B

  二、牛吃草的新题型

我们先来看一下用方程法来解决这类题。

  【例3】

  在牛吃草的创新题型中,有多种变化,可以改变牛吃的速度、草长的速度等,但是不管如何改变,我们都可以借助基本公式来求解。

在这儿我还是假设每头牛每天吃的草量为1份,同时假设每公亩的草每天的生长速度为x份,那么此时,为了实现整个算式中所有的单位都统一为份数,继续假设每公亩的草量有a份。此时,对于“20头牛吃30公亩牧场的草,15天后可以吃尽”,就有(20-30x)*15=30a,对于“15头牛吃25公亩牧场的草,30天可以吃尽”,就有(15-25x)*30=25a,对于“那么要在12天内吃尽50公亩牧场的草,需要多少头牛?”,就有(y-50x)*12=50a。将三个方程联立,得到:

  一个水库在年降水量不变的情况下,能够维持全市12万人20年的用水量。在该市新迁入3万人之后,该水库只够维持15年的用水量。市政府号召节约用水,希望能将水库的使用寿命提高到30年。那么,该市市民平均需要节约多少比例的水才能实现政府制定的目标?(     )

  1. 牛吃的速度改变

{(20-30x)*15=30a

  A. 2/5             B. 2/7            C. 1/3           D. 1/4

  例:一个水库在年降水量不变的情况下,能够维持全市12万人20年的用水量,在该市新迁入3万人之后,该水库只够维持15年的用水量,市政府号召节约用水,希望能将水库的使用寿命提高到30年。那么该市市民平均需要节约多少比例的水才能实现政府制定的目标?(    )

(15-25x)*30=25a

  解析:虽然题目未涉及牛吃草,但实质上也是牛吃草问题。水库原有的水量相当于草地原有草量,降水量相当于每天长草量,人吃水相当于牛吃草。将两个条件分别带入公式y=(N-X)x  T,可以得到两个方程:y=(12-X)x  20,y=(12+3-X)x  15,两个未知数两个方程可以解得x=3,y=180。将题目的问题根据公式列方程得到:y=(N-X)x  30。将x=3,y=180带入解得N=9。本来全市在新迁入3万人后,达到15万人。根据方程解出来节约用水后相当于只有9万人在用水,这个节约用水的比例即为2/5。选A

  A. 2/5              B. 2/7               C.1/3                D。1/4

(y-50x)*12=50a} 解得y=35

  由以上几个例题可以看出牛吃草问题的解题方法是较为模式化的,将题目的2个条件带入到公式中解出x和y,再带到问题的方程中算N或者算T。一个牛吃草问题会用上3次公式,因此对公式的记忆很重要。

  答案与解析:本题选A。题目中水库总量不变,年降水量不变,即每年水库的增加的水量都是固定的,所以若人数不同,则水库能维持的年份也不同。题干是在年份、人数固定的情况下求每年的用水量,故可以看出这是一道牛吃草问题。但是,在最后一个条件中,牛吃的速度变小了,那么在列方程中,我们也得需要将这个牛吃速由1调整为变化后的数量。

这个是典型的三元一次方程组,很容易求解答y=35。

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  在本题中,上述公式可以转化为:

通过方程法可以很简单的推导出最小公倍数法,如果将方程组化简,寻找25a、30a、50a的最小公倍数150a,则

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  水库水量=(全市人数×年消耗量-降水量)×可维持年数

(100-150x)*15=150a

  设水库水量的增长速度为x,年消耗量为1,居民平均需要节约用水量的比例是y,则由上述公式可得:(12×1-x)×20=(15×1-x)×15=[15×1×(1-y)-x]×30,解得y=2/5。本题选A。

(90-150x)*30=150a

  2. 草长的速度改变

(3y-150x)*12=150a

  例:在春运高峰时,某客运中心售票大厅站满等待买票的旅客,为保证售票大厅的旅客安全,大厅入口处旅客排队以等速度进入大厅按次序等待买票,买好票的旅客及时离开大厅。按照这种安排,如果开出10个售票窗口,5小时可使大厅内所有旅客买到票;如果开12个售票窗口,3小时可使大厅内所有旅客买到票,假设每个窗口售票速度相同。由于售票大厅票窗口,大厅入口处旅客速度增加到原速度的1.5倍,在2小时内使大厅中所有旅客买到票,按这样的安排至少应开售票窗口数为(    )

在此基础上就可以把150a消掉,即

  A.15       B.16               C.18               D.19

(100-150x)*15=(90-150x)*30=(3y-150x)*12

  答案及解析:本题答案选C。本题中,在最后的条件里草长的速度变为原来的1.5倍,在列方程时,需要将相应的速度也变成1.5倍。

在这个方程中草的生长速度都为150x,将草的速度化为一致,就是标准的牛吃草模型了。在做题时,寻找不同面积的最小公倍数,牛的头数和草的面积同倍数变化把不同的面积转化为相同面积。找三个不同面积30公亩、25公亩、50公亩的最小公倍数150公亩。对于“20头牛吃30公亩牧场的草,15天后可以吃尽”,可以转化为“100头牛吃150公亩牧场的草,15天后可以吃尽”;可以转化为“15头牛吃25公亩牧场的草,30天可以吃尽”,那么“90头牛吃150公亩牧场的草,30天可以吃尽”;对于“那么要在12天内吃尽50公亩牧场的草,需要多少头牛?”,可以转化为“那么要在12天内吃尽150公亩牧场的草,需要多少头牛?”。整体转化为“对于150公亩的草,100头牛吃15天可以吃完,90头牛吃30天可以吃完,问多少头年12天可以吃完?”由此就转化为相同面积的就吃草问题,利用标准模型可知:(100-x)*15=(90-x)*30=(n-x)12,解得:N=105,求得的结果是题目中让求结果的3倍。那么105/3=35,所以答案选A。

  设大厅里人的增长速度为x,每个售票口每分钟的接待量为1,要想达成目标至少需要安排N个售票口,则由基本公式可得:(10×1-x)×5=(12×1-x)×3=(N×1-1.5x)×2,解得N=18。

中公教育专家认为,对于牛吃草模型的学习不能仅仅停留于表面的基本公式的简单记忆,要去更深层次的去挖掘其内部的原理,抓住模型的核心。才能在学习中举一反三,触类旁通,以不变应万变,才能在日益竞争激烈的公务员考试中取到优异的成绩。

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