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日期:2019-11-09编辑作者:公务员

  知识概述

数学运算中的集合问题,也称容斥原理是近几年经常出现的题型,考生应将其作为典型题目加以掌握。解决容斥原理的题目,方法是关键。此类题型主要包括两集合问题和三集合问题,并且近几年常出现的容斥问题基本都是涉及三集合的,华图公务员[微博]考试研究中心就针对三集合的题目进行汇总。

对于许多考生来说,公务员[微博]考试行测中的容斥问题一直是难点,特别是一些复杂的三者容斥问题,单单靠记忆一些公式是难以解决的。中公教育[微博]专家建议考生,不记这些复杂的容斥原理公式也是可以的,关键要学会灵活运用容斥原理,尤其是利用文氏图结合容斥原理,一些问题可以轻松解决。

  (一)容斥问题概述

  在计数时,必须注意无一重复,无一遗漏。为了使重叠部分不被重复计算,人们研究出一种新的计数方法,这种方法的基本思想是:先不考虑重叠的情况,把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来,然后再把计数时重复计算的数目排斥出去,使得计算的结果既无遗漏又无重复,这种计数的方法称为容斥原理。

三集合容斥问题主要有以下三种题型:

一。知识点总结

  容斥问题是大家并不陌生的问题,其实就是大家在高中阶段学习集合的概念时接触到的一种题型。容斥问题讲的就是不同集合之间元素的相容与相斥问题。分为两集合容斥问题和三集合容斥问题。

  容斥问题也是行政职业能力测验考试中数学运算部分常考题型之一。

1、三集合标准型核心公式

容斥原理: 容斥原理是指计数时先不考虑重叠的情况,把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来,然后再把重复计算的数目排斥出去。

  1、题型特征

  “容斥原理”问题的难点在于:1、读懂题目难;2、明白各部分间包含关系难;3、计算易出错。解决这类问题一般使用下面两种方法。

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容斥问题主要分为:两者容斥问题、三者容斥问题。

  这类题型在题干中一般会给出两个或三个集合,以及一类事物的总体,集合会在这个总体中,每个集合之间又存在着交集,或是两个集合的交集,或是三个集合的交集。每个集合分别表示满足一个条件,两个集合的交集表示同时满足两个条件,三个集合的交集表示同时满足三个条件,集合之外的表示都不满足条件的量,任何一个集合或是交集或是集合之外或是总数都可能成为这类题目所要求的量。

  一、容斥原理公式法:适用于题目条件与问题都可直接代入公式的题目。核心公式如下:

2、三集合图示标数型(文氏图或者叫做韦恩图法)

如何解决容斥问题:利用文氏图(划圈法)。

  2、题型分类

  两个集合的容斥关系公式:A∪B = A+B-A∩B (∩:重合的部分)

a。特别注意“满足某条件”和“只满足某条件”的区别;

1.两者容斥问题

  在公务员[微博]考试中,根据集合的个数,容斥原理问题一般只有两集合容斥关系和三集合容斥关系两种类型。

  三个集合的容斥关系公式:A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A +A∩B∩C

b。特别注意有没有“三个条件都不满足的情形”;

解决两者容斥问题的方法:如果被计数的事物有A、B两类,那么,先把A、B两个集合的元素个数相加,然后减掉重复计算的部分。

  (二)广东省历年命题规律

  二、文氏图示意法:用图形来表示集合关系,更加直观。

3、三集合整体重复型核心公式

简记:元素的总个数=大圈-中圈(A、B为大圈,x为中圈)

  容斥问题是广东省考行测数学运算的常考题型,在历年的考试中分别出现了两集合和三集合的题型,所以这部分内容是广大考生在备考广东省考时的重点。

  典例分析

三集合容斥问题中,有些条件未知时,就不能直接使用标准型公式,而是运用整体重复型公式同样可以解答。特别当题目中说明分别满足一种、两种、三种条件的个数时,使用整体重复型公式。并且,三集合整体重复型公式是现在国家公务员考试考查三集合容斥问题的重点。另外,可利用尾数法进行快速求解。

方法核心:让每个重叠区域变为一层。

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  例1:一个停车场有50辆汽车,其中红色轿车35辆,夏利轿车28辆,有8辆既不是红色轿车又不是夏利轿车,问停车场有红色夏利轿车多少辆?(    )

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  (三)高分技巧解读

  A. 14               B. 21               C. 15               D. 22

原理:在三集合题型中,假设满足三个条件的元素数量分别时A、B和C,而至少满足三个条件之一的元素的总量为W。其中,满足一个条件的元素数量为x,满足两个条件的元素数量为y,满足三个条件的元素数量为z,根据右图可以得到下满两个等式:

(x为重叠区域)

  在解答容斥问题时,其原理是在不考虑重叠的情况下,先将所有对象的数目相加,然后再减去重复的部分,从而使得计算的结果既无遗漏又无重复。

  京佳解析:B    两集合容斥原理。设全集Q表示停车场一共有50辆汽车,集合A表示红色车数量,B表示夏利车数量。有题目我们已知A等于35。B等于28。由已知非A非B的数量是8,也即Q-A∪B=8。所求的是红色夏利车辆数,既是求A∩B的值。设所求为x,根据容斥原理公式有:35+28-x50-8=35+28-x,计算得到x=21。故选B。

W=x+y+z

例:班级一共有240人,每个人必须至少有一门是好的,已知行测好的是160人,申论好的是120人,问既行测好又申论好的有多少人?

  1、解题技巧分析

  例2:一学校的750名学生或上历史课,或上算术课,或两门课都上。如果有489名学生上历史课,606名学生上算术课,问有多少学生两门课都上?(  )

A+B+C=x×1+y×2+z×3

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1.两集合标准型核心公式

  满足条件Ⅰ的个数+满足条件Ⅱ的个数-两者都满足的个数=总个数-两者都不满足的个数(即:A+B-A∩B=总个数-都不满足的个数)

  图示法(文氏图)  

  

  2.三集合标准型核心公式

  A+B+C-(A∩B+B∩C+A∩C)+A∩B∩C=总个数-都不满足的个数

  A+B+C-1×(满足两个条件的个数)-2× A∩B∩C =总个数- 都不满足的个数

  图示法(文氏图):

  

  3.三集合图示标数型

  a。特别注意“满足某条件”和“只满足某条件”的区别;

  b。特别注意有没有“三个条件都不满足的情形”;

  c。标数时,注意从中间向外标记。

  A. 117        B. 144       C. 261         D. 345

通过几个例题阐述三集合容斥的相关内容:

(x为既行测好又申论好的人)

  2、典型例题分析

  京佳解析:D    两集合容斥问题。根据题目已知条件和容斥原理公式知,两门都上的有489+606-750=345人。故选D。

【例1】对某单位的100名员工进行调查,结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。其中58人喜欢看球赛,38人喜欢看戏剧,52人喜欢看电影,既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人,既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人,三种都喜欢看的有12人,则只喜欢看电影的有( )。

中公解析:首先我们只需把行测好、申论好的分别看成集合,然后用文氏图表示出来,其中x为重叠区域,我们需将其变为单层。160+120-x=240,解得x=40。

  【例1】(广东2009年)旅行社对120人的调查显示,喜欢爬山的与不喜欢爬山的人数比为5∶3,喜欢游泳的与不喜欢游泳的人数比为7∶5,两种活动都喜欢的有43人。对这两种活动都不喜欢的人数是(   )。

  例3:外语学校有英语、法语、日语教师共27人,其中只能教英语的有8人,只能教日语的有6人,能教英、日语的有5人,能教法、日语的有3人,能教英、法语的有4人,三种都能教的有2人,则只能教法语的有(  )。

A.22人B.28人C.30人D.36人

2.三者容斥问题

  A .18人              B.27人              C.28人              D .32人

  A.4人             B.5人            C.6人              D.7人

【解析】设A=喜欢看球赛的人58,B=喜欢看戏剧的人38,C=喜欢看电影的人52,则有:

解决三者解决容斥问题的方法:如果被计数的事物有A、B、C三类,那么,先把A、B、C三个集合的元素个数相加,然后减掉重复计算的部分。

  【解析】A。这是一道两集合容斥问题。依题意可知,喜欢爬山的有75人,喜欢游泳的有70人,根据两集合公式可得,两种活动都不喜欢的有120-(75+70-43)=18(人)。

  京佳解析:B    三集合容斥。此题应用文氏图法,将能教英语、日语、法语的教师分别设为不同的集合。先设所有集合的交集为2,依题意得文氏图(见右图),由图知:只能教法语的老师为:27-8-6-3-2-2-1=5人。

A∩B=既喜欢看球赛的人又喜欢看戏剧的人18

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  【例2】(广东2014年)为丰富职工业余文化生活,某单位组织了合唱、象棋、羽毛球三项活动。在该单位的所有职工中,参加合唱活动的有189人,参加象棋活动的有152人,参加羽毛球活动的有135人,参加两种活动的有130人,参加三种活动的有69人,不参加任何一种活动的有44人。该单位的职工人数为( )。

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B∩C=既喜欢看电影又喜欢看戏剧的人16

(1、2、3、x均为重叠区域)

  A .233               B.252               C.321               D .520

  例4:对厦门大学(微博)计算机系100名学生进行调查,结果发现他们喜欢看NBA和足球、赛车。其中58人喜欢看NBA;38人喜欢看赛车,52人喜欢看足球,既喜欢看NBA又喜欢看赛车的有18人,既喜欢看足球又喜欢看赛车的有16人,三种都喜欢看的有12人,则只喜欢看足球的有(    )。

A∩B∩C=三种都喜欢看的人12

简记:元素的总个数=大圈-中圈+数小圈(大圈指三类元素的个数和,中圈指题目中所给重叠区域(1、2、3、1+x、2+x、3+x、1+2+3+x),小圈为三层重叠区域x,利用此公式,我们只需数小圈即可。

  【解析】B。这是一道三集合容斥问题。设该单位职工人数为P,依据三集合公式可得:189+152+135-(130+69×3)+69=P-44,解得P=252。故本题正确答案为B。

  A.22人             B.28人             C.30人             D. 36人

A∪B∪C=看球赛和电影、戏剧至少喜欢一种100

方法核心:让每个重叠区域变为一层。

  【例3】(国考2015年)某企业调查用户从网络获取信息的习惯,问卷回收率为90%。调查对象中有179人使用搜索引擎获取信息,146人从官方网站获取信息,246人从社交网络获取信息,同时使用这三种方式的有115人,使用其中两种的有24人,另有52人这三种方式都不使用,问这次调查共发出了多少份问卷(  )。

  京佳解析:A    三集合容斥。总人数减去喜欢NBA的和喜欢赛车的,再加上既喜欢NBA又喜欢赛车的,就得到只喜欢足球的。100-58-38+18=22。

由集合运算公式可知:C∩A=A+B+C-(A∪B∪C+A∩B+B∩C-A∩B∩

例:有140人,每个人都至少喜欢一种花,已知喜欢玫瑰花的有80人,喜欢牡丹花的有70人,喜欢百合花的有60人,则分别在以下三种条件下,三种花都喜欢的有多少人?

  A.310              B.360              C.390              D.410

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C)=148-(100+18+16-12)=26

(1)喜欢玫瑰和牡丹的有30人,喜欢玫瑰和百合的有40人,喜欢牡丹和百合的有50人;

  【解析】D。根据三集合容斥原理的公式,179+146+246-24-2×115=总人数-52,解得总人数为369,故问卷数量为369÷90%=410。因此,本题答案为D选项。

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所以,只喜欢看电影的人=C-B∩C-C∩A+A∩B∩C=52-16-26+12=22

(2)只喜欢两种花的有40人;

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注:这道题运用公式运算比较复杂,运用文氏画图法我们很快就可以看出结果。文氏解法如下:

(3)至少喜欢两种花的有50人。

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由题意知:(40-x)+x+(36-x)+6+12+4+16=100,解得x=14;则只喜欢看电影的人有36-x=22。

中公解析:首先分析三个条件中重叠区域是哪部分,利用元素的总个数=大圈-中圈+数小圈,则大圈=80+70+60,中圈=30+40+50,其中大圈中x被加了三次,减中圈时x被减了三次,还需加一次x,故80+70+60-(30+40+50)+x=140,解得x=50。(2)大圈=80+70+60,中圈=40,其中大圈中x被加了三次,减中圈时x一次也没有被减,因此需减2x,故80+70+60-40-2x=140,解得x=15。(3)大圈=80+70+60,中圈=50,其中大圈中x被加了三次,减中圈时x被减了一次,因此需再减一次x,故80+70+60-50-x=140,解得x=20。

【例2】外语学校有英语、法语、日语教师共27人,其中只能教英语的有8人,只能教日语的有6人,能教英、日语的有5人,能教法、日语的有3人,能教英、法语的有4人,三种都能教的有2人,则只能教法语的有( )。

总结:解决容斥问题,最重要的就是要分清题干中所给的重叠区域,然后从三层区域入手(小圈)将重叠区域变为一层。

A.4人B.5人C.6人D.7人

3.容斥中的极值问题

解析:首先采用公式法解决此题,设A=英语教师8+5+4-2=15,B=法语教师,C=日语教师6+5+3-2=12,(但应注意的是在做题之前,我们首先必须了解公式中A,B,C三个集合所代表的含义,并非A=8,C=6.),则C=A∪B∪C-A-C+A∩B+B∩C+C∩A-A∩B∩C=27-15-12+5+3+4-2=10,那么只能教法语的教师=10-3-4+2=5

公式:新濠7158官网 10

另外,此题如果用韦恩图法会相当简单,设只能教法语的人数为X,则依题意得韦恩图(见下图):

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由题意我们有27=8+3+6+2+2+1+X,解得X=5。

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【例3】某高校对一些学生进行问卷调查。在接受调查的学生中,准备参加注册会计师考试的有63人,准备参加英语六级考试的有89人,准备参加计算机考试的有47人,三种考试都准备参加的有24人,准备选择两种考试都参加的有46人,不参加其中任何一种考试的都15人。问接受调查的学生共有多少人?()

二。经典例题

A.120B.144C.177

1.接受采访的100个大学生中,88人有手机,76人有电脑,其中有手机没电脑的共15人,则这100个学生中有电脑但没手机的共有多少人?

D.192

A.25 B.15 C.5 D.3

【解析】根据题意,分别已知两种条件、三种条件都满足的个数,设所有准备参加考试的学生人数为W,只准备参加一门考试的学生人数为X。使用三集合整体重复型公式:

【答案】D。

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中公解析:画出文氏图。88人有手机,15人有手机没电脑,则88-15=73人既有手机又有电脑,已知76人有电脑,所以有电脑没手机的有76-73=3人。

根据尾数法,解得x尾数是5,W尾数是5。因此,学生总数=W+15,尾数为0,选A。

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【例4】某市对52种建筑防水卷材产品进行质量抽检,其中有8种产品的低温柔度不合格,10种产品的可溶物含量不达标,9种产品的接缝剪切性能不合格,同时两项不合格的有7种,有1种产品这三项都不合格。则三项全部合格的建筑防水卷材产品有多少种?()

2.某公司招聘员工,按规定每人最多可报考两个职位。结果共42人报名,甲、乙、丙三个职位报名人数分别是22人、16人、25人,其中同时报甲、乙职位的人数为8人,同时报甲、丙职位的人数为6人,那么同时报乙、丙职位的人数为:

A.37B.36C.35D.34

A.5人 B.6人 C.7人 D.8人

【解析】根据题意,分别已知满足一种条件、两种条件的个数,设一项不合格的为X,所有不合格产品为W。使用三集合整体重复型公式:

【答案】C。

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中公解析::设同时报乙、丙职位的人数为x人,报考甲、乙、丙三个职位的一共有22+16+25=63人,其中报考两个职位的被重复计算了1次,则总的报名人数42=63-(8+6+x),解得x=7人。

根据尾数法,解得X尾数为0,W尾数为8。因此,全合格的产品数=总数-W=52-W,尾数为4,选D。

中公教育专家认为,备战公务员考试一定要攻下行测中的容斥问题,掌握以上技巧则能帮助考生完胜该题型,向行测高分更进一步。

通过华图公务员考试研究中心列举的几个三集合例题可以发现,对于容斥问题首先判断题型,是三集合元素已知的题目,还是三集合整体重复型题目。三集合标准型公式和整体重复型公式的适用情况是不同的:标准型公式适用于各项条件都明确给出的情况,而整体重复型公式适用于分别给出满足一种、两种、三种条件的个数,因为这三者之间没有任何包含关系。区分好两种情形,特别是整体重复型公式,三集合容斥问题就迎刃而解了。

华图教育[微博]田莹莹

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